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'數學'相關日誌共 2 篇

有趣的機率-Monty Hall problem

數學 2010/05/26 11:35

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這是個有趣的數學機率問題.

電視節目上, 有三個門, 其中只有一個門有汽車, 而另外兩個門後面沒有東西, 讓參賽者上台選擇. (原節目中的內容是空門後放山羊), 圖示如下:

一般的狀況下, 為了增加收視率, 提升刺激性, 主持人會參與, 把其中一個沒有東西的門打開, 讓參賽者再來選擇, 是否要更換門, 來選擇獲得汽車大獎的可能. 理論上是換而獲得的機會會增加.

這個問題表面上看起來的確不是這麼一回事, 主要是定義明確性的問題, 會導致想法發生誤解. 若是先把條件說明清楚的狀況下, 就是一個蠻單純的數學機率問題了.

這個問題叫做蒙提霍爾問題 (Monty Hall problem). 可以參考 wikipedia 上的資料(link).

接下來來定義一下問題.

有三個門, 而參賽者不知後方的汽車在哪個門
主持人知道汽車在哪個門, 並會在參賽者選好門後, 總是開啟剩下兩個門中, 其中一個沒有汽車的門.
參賽者可以獨立選擇要換或是不換.

再來分析看看獲獎狀況的機率:

參賽者選空門1, 主持人選空門2, 參賽者換門後獲獎.
參賽者選空門2, 主持人選空門1, 參賽者換門後獲獎.
參賽者選汽車, 主持人選任一門, 參賽者換門後失敗.

從上述的狀況來看, 參賽者在總是換門的結果下, 只有一開始選中汽車的狀況下不會獲獎, 否則就會因為換了門而獲獎, 如此一來, 便能看出, 總是換門會有較高的獲獎機會 2/3 : 1/3, 也就是獲獎機會倍增的由來.

因為很容易發生直覺上誤判的問題, 所以這個問題, 也常被稱之為蒙提霍爾悖論, 十分有趣.

參考資料:
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%A6%82%E7%8E%87%E8%AE%BA
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C

[2010/5/28 21:05]剛看到一個影音版的說明, 也順便提供給大家參考:
引用自: http://www.im.tv/vlog/personal/879704/6278986

TAG Monty Hall problem, probability

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數學證明題-平方和

數學 2009/09/29 15:04

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還記得高中有學過證明累加的公式算法嗎? 利用數學歸納法來證明公式是否正確的一個方法, 為了再次熟悉以前的數學, 整理一下數學歸納法的方式.

先來看看 wikipedia 上的定義吧: http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95

利用數學歸納法, 可以證明數學問題的公式, 例如我們要證明平方和這個公式為 n(n+1)(2n+1)/6 於是就利用如下的步驟:

1. 當 n = 1 時, 1^2 = 1, 1 * (1+1) * (2 * 1 + 1) / 6 = 1 成立
2. 假設 n = m 時, 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + m^2 = m(m+1)(2m+1)/6 成立
3. 則 n = m+1 時, 應該就是 m(m+1)(2m+1)/6 + (m+1)^2 (也就是 2式 + (m+1)^2), 展開後得: (2m^3+9m^2+13m+6)/6
4. 利用 n=m+1 的公式解得 (m+1)((m+1)+1)(2*(m+1)+1)/6 展開得: (m+1)(m+2)(2m+3)/6 = (2m^3+9m^2+13m+6)/6 和 3. 式結果相同
5. 故得證.

不過用這種不是數學式的寫法看起來不是很舒服, 利用 google docs 的 "公式編輯器" 來寫應該更清楚, 如下:

證明平方和公式為:
$\sum_{i=1}^{n}{i^2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

1. 當 n = 1 時, $\sum_{i=1}^{1}{i^2} =\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6} = \frac{1\times2\times3}{6}=1$ 成立

2. 假設 n = m 時, $\sum_{i=1}^{m}{i^2} =\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ 成立

3. 則當 n = m + 1 時, $\sum_{i=1}^{m+1}{i^2} =\sum_{i=1}^{m}{i^2} + (m+1)^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + (m+1)^2 = \frac{(2m^3 +9m^2+13m+6)}{6}$

4. 利用 n = m+1 的公式展開得: $\sum_{i=1}^{m+1}{i^2} =\frac{(m+1)((m+1)+1)(2(m+1)+1)}{6}=\frac{(2m^3 +9m^2+13m+6)}{6}$

5. 3和4式結果相同, 故得證.

相信這個證明很清楚地證明了平方和的公式及驗證, 也是數學歸納法的證明方式, 是不是讓久未碰高中數學的各位, 喚起了一些些記憶呢?